Kērmens (matemātiki)

Kērmens (matemātiki)

Kērmens – nitriwjāls prēipirstas, sen aīnibin, en kawīdsmu eraīns nizeriskan elamēntan ast etwartinnaminan (Prēipirstas šlāit zerras delītajans).

Empīriniskai, kērmens mazzi būtwei nikōmutatīwan. Ainuntkaddan ši definiciōni ast paplattintan sen kōmutatīwiskwas āudairan be staddan nikōmutatīwai kērmenei ast bilītan per klāiwan kērmenin.

Fōrmala definiciōni

Kērmens ast algebraiska struktūri (tālis pazentlitan kāigi K) sen dwāi dwāiargumentiskans segīsnans, bilītan pēr preidāsnan be rēizinsnan, izpilnināntins zemmans aksjōmans:

• Preidasnā ast sejjaminan:

$\forall _{a,b,c\in K}\;a+(b+c)=(a+b)+c$,

• Rēizinsnas neutrālin elamēntan ekzistijja:

$\exists _{0\in K}\;\forall _{a\in K}\;a+0=a$,

• Eraīnan elamēntan turri emprīkiskan elamēntan:

$\forall _{a\in K}\;\exists _{b\in K}\;a+b=0$,

• Preidasnā ast etwartinnaminan:

$\forall _{a,b\in K}\;a+b=b+a$;

• Tulninsnā ast sejjaminan:

$\forall _{a,b,c\in K}\;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$,

• Rēizinsnas neutrālin elamēntan ekzistijja:

$\exists _{1\in K}\;\forall _{a\in K}\;a\cdot 1=a$,

• :$\forall _{a,b,c\in K}\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$,
• :$\forall _{a,b\in K}\;a\cdot b=b\cdot a$.
• Eraīns nizeriskan elamēntan asr etwartinnaminan, sz:

$\forall _{a\in K\setminus \{0\}}\;\exists _{b\in K}\;a\cdot b=1$,

Elamēntan 1 ast bilītan per aīnan anga aīnibin be ast rēizinsnas neutrālin elamēntan, adder 0 ast perdāsnas neutrālin elamēntan.

Pōkermens be kērmenes platinsnā

K seīsei kērmens. Per kērmenes K pōkermenin bilāimai kērmenes K pōpreipirstan L, kawīds subs ast kērmens relatīwai segīsnamans iz K araikintammans prēi šin patūliskwan. Staddan kērmens K ast bilītan per kērmenes L plattinsnan.

Perwaidīnsnas

• Tūlisku stēisan raciōnalin gīrbin ast pōkermens stesse kērmenin stēisan reālai gīrbjaireālin gīrbin.
• Tūlisku stēisan reālin gīrbin ast pōkermens stesse kērmenin stēisan kōmpleksiskan gīrbin.
• Kērmens stēisan kōmplaksiskan gīrbin ast platisnā stesse kērmenin stēisan raciōnalin be reālin gīrbin.

Perwaidīnsnas

• kērmens $\mathbb {Q}$ stēisan raciōnalin gīrbin,
• kērmens $\mathbb {R}$ stēisan reālin gīrbin,
• kērmens $\mathbb {C}$ stēisan kōmplaksiskan gīrbin,
• kērmens $\mathbb {H}$ stēisan kwaterņōnin (nikōmutatīwan)
• kērmens stēisan raciōnalin funkciōnin,
• kērmens $\mathbb {Z} _{p}$ stēisan likkin iz delīsnan pra pirman gīrbin p,
• kērmens $\mathbb {Q} _{p}$ stēisan p-addiskan gīrbin.