Ōrtogōnala gruppi

Ōrtogōnala gruppi - gruppi stēisan līniskan prateikāsenin en reālai līniskan plattibin, kawīdai erlaikāi skalāriskan rēizinsnan (līguzentliskai: erlaikāi ilgan stēisan wektōŗan). Si gruppi ast pazentlītan kāigi $O(n)$, kwēi $n$ ast ermattausna stesse plattibin, kwēi gruppi dilāi.

Enwedāntei ōrtonōrmalin bāzin en plattibei, mazīngi aupaltun āudairans na matrīcins stēisan ōrtogōnaliskan prateikāsenin $O$, izēntei iz āudairan na ebwīrpas wektōras $x$ ilgas erlaikāsnan:

$||x||^{2}=||Ox||^{2}=(Ox)\cdot (Ox)=xO^{T}Ox\implies O^{T}O=I$

Sta zentli, kāi dwāi šlaitawīdai matrīcis kōlunis ast pērpendikelin prei subbans, adder eraīna kōluni turri ilgan $1$. Stawīdas prateikāsenei prateikāi aīnan ōrtonōrmalin bāzin en kittan ōrtonōrmalin bāzin. Ensadināntei aīnan bāzin kāigi standārtiskan, erainā kitā ōrtonōrmala bāzi ast sēitan sen akrāts aīnan ōrtonōrmalin prateikāsenin.

Ōrtogōnalai prateikāsenei teikāi gruppin:

• Sendīsenis dwejjan ōrtogōnalin prateikāsenin ast ōrtogōnals prateikāsenis:

$(A\cdot B)^{T}\cdot (A\cdot B)=B^{T}\cdot A^{T}\cdot A\cdot B=B^{T}\cdot B=I$

• Idēntisku ast ōrtogōnals prateikāsenis:

$I^{T}\cdot I=I$

• Eraīns ōrtogōnals prateikāsenis $O$ turri emprīkiskan elamēntan $O$, kasse matrīci ast transpōzita elāmentas $O$ matrīci:

$O^{-1}O=O^{T}\cdot O=I$

Ši gruppi ni ast maināmina (abēliska) gruppi.